Question

13．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{a_n^2+{a_n}}}$用[x]表示不超过x的最大整数，则$[\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}+1}}]$的值等于（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意说明数列的项为正，利用裂项法化简数列递推关系式，进行求和即可．

解答 解：由题意可知a_n＞0，
∵$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{a_n^2+{a_n}}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$$-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}$，∴a₂=$\frac{3}{4}$，同理a₃=$\frac{16}{21}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$=$\frac{2}{3}+\frac{4}{7}$＞1，
则1＜$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$$-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜2，
则[$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$$-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$]=1，
故选：B．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，新定义的应用，确定表达式的取值范围是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．