Question

3．如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得到几何体B-ACD．

（1）求证：AC⊥BD；
（2）求AB与平面BCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥AD，BD⊥DC，得BD⊥面ACD，由此能证明BD⊥AC．
（2）推导出AC⊥CD，AC⊥BD，从而∠ABC是AB与平面BCD所成的角，由此能求出AB与平面BCD所成的角的正切值．
（3）过点D作DO⊥BC于O，过O作OD⊥AB于E，连结DE，则∠DEO为二面角D-AB-C的平面角，由此能求出二面角D-AB-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，
沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，
∴BD⊥AD，BD⊥DC，且AD∩DC=D，
∴BD⊥面ACD，
又∵AC?面ACD，∴BD⊥AC．
解：（2）∵DC=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
且AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos30°
=4+3-2×$2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
又∵AC⊥BD，且CD∩BD=D，∴AC⊥平面BCD，
∴∠ABC是AB与平面BCD所成的角，
在Rt△ABC中，tan$∠ABC=\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB与平面BCD所成的角的正切值为$\frac{1}{2}$．
（3）在△BCD中，过点D作DO⊥BC于O，
则AC⊥DO，∴DC⊥面ABC，
在△ABC中，过O作OD⊥AB于E，连结DE，则AB⊥面ODE，
∴∠DEO为二面角D-AB-C的平面角，
在Rt△BCD中，由题意AB=$\sqrt{5}$，DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BCD中，由题意DO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴cos$∠DEO=\frac{OE}{DE}$=$\frac{1}{4}$，
∴二面角D-AB-C的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审，注意空间思维能力的培养．