Question

8．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左焦点在抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的性质求得其准线方程，即可求得椭圆的焦点坐标，跟据离心率的定义，求得可求a和b，求得椭圆方程；
（2）根据椭圆方程，设出直线AB的方程，代入椭圆消去y得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0，求得k的取值范围，根据韦达定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，分别求得直线OA及OB的斜率，根据斜率之和等于2，即可求得k的值．

解答 解：（1）由抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线为，x=-$\sqrt{3}$，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点坐标为（-$\sqrt{3}$，0），
∴c=$\sqrt{3}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，
由a²=b²+c²，求得b=1，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且左焦点在抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的准线上．
（2）设直线l_AB：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+4k²）x²+32kx+60=0，△=（32k）²-240（1+4k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{15}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{32k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{60}{1+4{k}^{2}}$，
k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+4）{x}_{2}+（k{x}_{2}+4）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+4×$\frac{-32k}{60}$，
∵直线OA，OB的斜率之和等于2，即2k+4×$\frac{-32k}{60}$=2，解得k=-15，
∴直线AB的斜率-15．

点评 本题以椭圆为载体，考查椭圆及抛物线的几何性质，一元二次方程根与系数的关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，属于中档题．