Question

13．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．
（1）求证：AD⊥BE
（2）求平面AEC和平面BDE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出点的坐标，利用向量法证明直线垂直．
（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）方法1：取AB的中点P，连接DP，CP，
∵△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，
∴DP⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABD，
∴DP⊥平面ABC，
∵EC⊥平面ABC，
∴EC∥DP，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴DP=AP=2，
则EC=AP=2．
则四边形DECP是正方形，
则CP⊥DP，则CP⊥平面ABD，
∵AD?平面ABD，
∴PC⊥AD，
则DE⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴AD⊥平面BDE，
则AD⊥BE
法2：以OA，OC，OD为x，y，z的正方向建立直角坐标系，
则有：$A（{2，0，0}），D（{0，0，2}），B（{-2，0，0}），E（{0，2\sqrt{3}，2}）$$\overrightarrow{AD}=（{-2，0，2}），\overrightarrow{BE}=（{-2，2\sqrt{3}，2}）$
由于$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=0$，
故AD⊥BE．
（Ⅱ）如图建立坐标系，
则$A（{2，0，0}），B（{-2，0，0}），C（{0，2\sqrt{3}，0}），E（{0，2\sqrt{3}，2}），D（{0，0，2}）$，
$\overrightarrow{AE}=（{-2，2\sqrt{3}，2}），\overrightarrow{AC}=（{-2，2\sqrt{3}，0}），\overrightarrow{BD}=（{2，0，2}），\overrightarrow{DE}=（{0，2\sqrt{3}，0}）$，
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$所以$\left\{\begin{array}{l}-2{x_1}+2\sqrt{3}{y_1}+2{z_1}=0\\-2{x_1}+2\sqrt{3}{y_1}=0\end{array}\right.$，
令y₁=1，则${x_1}=\sqrt{3}，{z_1}=0$
所以$\overrightarrow{n_1}=（{\sqrt{3}，1，0}）$，
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$所以$\left\{\begin{array}{l}2{x_2}+2{z_2}=0\\ 2\sqrt{3}{y_2}=0\end{array}\right.$，令x₂=1，则y₂=0，z₁=-1
所以$\overrightarrow{n_2}=（{1，0，-1}）$，
所以$cosα=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直和空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．