Question

18．如图（1），在正方形SG₁G₂G₃中，E、F分别是G₁G₂、G₂G₃的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G₁、G₂、G₃三点重合于点G．证明：
（1）G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；
（2）求二面角G-SE-F的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理即可证明G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；
（2）根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角G-SE-F的正弦值．

解答 证明：（1）设G在平面SEF上的射影为点H，则GH⊥平面SEF．
∵折前SG₁⊥G₁E、SG₃⊥G₃F，
∴折后SG⊥GE、SG⊥GF，
∵GE∩GF=G，∴SG⊥平面GEF…（2分）
∵$\left.{\begin{array}{l}{SG⊥平面GEF}\\{EF?平面GEF}\end{array}}\right\}⇒SG⊥EF$，$\left.{\begin{array}{l}{GH⊥平面SEF}\\{EF?平面SEF}\end{array}}\right\}⇒GH⊥EF$，SG∩GH=G，
∴EF⊥平面SGH…（5分）
∵SH?平面SGH，∴EF⊥SH，同理，EH⊥SF，∴H为△SEF的垂心．…（6分）
（2）过G作GO⊥SE交SE于点O，连OH，
则∠GOH即为所求二面角G-SE-F的平面角．…（7分）
∵$\left.{\begin{array}{l}{GH⊥平面SEF}\\{SE?平面SEF}\end{array}}\right\}⇒GH⊥SE$，
又∵GO⊥SE，GH∩GO=G，
∴SE⊥平面GHO∵OH?平面GHO，
∴SE⊥OH，∴∠GOH为所求二面角G-SE-F的平面角．…（9分）
设正方形SG₁G₂G₃的边长为1，
则在Rt△SEG中，$SG=1，GE=\frac{1}{2}，SE=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$∴$GO=\frac{SG•GE}{SE}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
又${V_{S-EFG}}={V_{G-SEF}}⇒GH=\frac{1}{3}$，
∴sin∠GOH=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，∴二面角G-SE-F的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理以及空间二面角的求解，利用相应的性质定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．