Question

8．如图所示，在所有棱长均为1的四面体DEFG内有一个内接三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A，B，C在平面EFG内，A₁，B₁、C₁分别在DE，DF，DG上，且AB=BC=CA=AA₁，AA₁⊥平面ABC，则AB=$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 作DO⊥平面EFG，垂足为O，交平面A₁B₁C₁于O₁，连接OG，O₁C₁，利用三角形相似建立方程，即可得出结论．

解答 解：作DO⊥平面EFG，垂足为O，交平面A₁B₁C₁于O₁，连接OG，O₁C₁，则OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DO=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设AB=a，则由三角形相似可得$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}-a}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$，
∴a=$\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$-2．
故答案为：$\sqrt{6}$-2．

点评 本题考查点面距离的计算，考查三角形相似性质的运用，比较基础．