Question

16．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$的零点为x₀，则下列结论正确的是（　　）

• A． $ln{x_0}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}＞{2^{x_0}}$
• B． ${2^{x_0}}＞ln{x_0}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}$
• C． ${2^{x_0}}＞{x_0}^{\frac{1}{2}}＞ln{x_0}$
• D． ${x_0}^{\frac{1}{2}}＞{2^{x_0}}＞ln{x_0}$

Answer 1

分析 利用函数零点的定义以及判定定理，求得x₀∈（1，2），可得∴${2}^{{x}_{0}}$、$\sqrt{{x}_{0}}$、lnx₀ 的大小关系．

解答 解：∵函数$f（x）=lnx-\frac{1}{x}$的零点为x₀，则x₀＞0，且lnx₀ =$\frac{1}{{x}_{0}}$．
再根据f（x）在（0，+∞）为增函数，f（1）=-1＜0，f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，f（1）•f（2）＜0，
可得x₀∈（1，2），${2}^{{x}_{0}}$＞2，$\sqrt{{x}_{0}}$∈（1，2），lnx₀∈（ 0，ln2），
∴${2}^{{x}_{0}}$＞$\sqrt{{x}_{0}}$＞lnx₀，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点的定义以及判定定理，属于基础题．