Question

13．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点M，MN垂直BA的延长线于点N．
（1）求证：DA是∠CDN的角平分线；
（2）求证：BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

Answer 1

分析 （1）由AB是圆O的直径，得∠ADM=90°，又MN垂直BA的延长线于点N，得∠ANM=90°，可得M、N、A、D四点共圆，然后利用等量关系求得∠ADC=∠ADN，
可得DA是∠CDN的角分线；
（2）由M、N、A、D四点共圆，得AB•NB=BM•BD，B、C、A、D四点共圆，得MD•MB=MA•MC，联立可得MD•MB+MB•BD=MA•MC+AB•BN，从而得
得BM²=MA²+AB²+MA•AC+AB•AN，再由B、C、M、N四点共圆，得MA•AC=AB•AN，可得BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

解答 证明：（1）∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，即∠ADM=90°，
又MN垂直BA的延长线于点N，即∠ANM=90°，
∴M、N、A、D四点共圆，
∴∠MDN=∠NAM，
∵∠BAC=∠NAM，∠BAC=∠BDC，∴∠BDC=∠MDN，
又∠ADM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADN，
∴DA是∠CDN的角分线；
（2）∵M、N、A、D四点共圆，
∴AB•NB=BM•BD，①
∵B、C、A、D四点共圆，
∴MD•MB=MA•MC，②
①+②有：
MD•MB+MB•BD=MA•MC+AB•BN，
得BM²=MA•（MA+AC）+AB•（AB+AN）=MA²+AB²+MA•AC+AB•AN，
∵B、C、M、N四点共圆，∴MA•AC=AB•AN，
∴BM²=AB²+AM²+2AB•AN．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查了四点共圆的条件，考查分析问题和解决问题的能力，是中档题．