Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．
（1）求证：BG⊥PD；
（2）求 点G到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）连接PG，证得PG⊥平面ABCD，即可得PG⊥GB，结合GB⊥AD，得GB⊥平面PAD，即可证得结论；
（2）由等体积法V_G-PAB=V_A-PGB，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，
又GB⊥AD，∴GB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD
∴GB⊥PD…（6分）
（2）解：设点G到平面PAB的距离为h，
在△PAB中，PA=AB=a，PB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴面积S=$\frac{\sqrt{15}}{8}$a²，
∵V_G-PAB=V_A-PGB，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{8}{a}^{2}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{10}a$…（12分）

点评 本题考查学生的证明能力，考查等体积法的运用，属于中档题．