Question

11．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx在（1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求出f（x）的导函数，令导函数大于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．

解答 解：∵f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
∵f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立
∴a≤x²在区间（1，+∞）上恒成立
∵x²＞1
∴a≤1
故选：D．

点评 解决函数的单调性已知求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值．