Question

16．已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{400-6x，0＜x≤40}\\{\frac{8000}{x}-\frac{57600}{x^2}，x＞40}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）写出年利润f（x）（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（Ⅱ）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

分析 （1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；
（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．

解答 解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当0＜x≤40时，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-6x²+384x-40；
当x＞40时，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-$\frac{57600}{x}$-16x+7960
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-6{x}^{2}+384x-40，0＜x≤40}\\{-\frac{57600}{x}-16x+7960，x＞40}\end{array}\right.$；
（2）当0＜x≤40时，f（x）=-6x²+384x-40=-6（x-32）²+6104，
∴x=32时，f（x）_max=f（32）=6104；
当x＞40时，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-$\frac{57600}{x}$-16x+7960≤-2$\sqrt{\frac{57600}{x}•16x}$+7960，
当且仅当$\frac{57600}{x}$=16x，即x=60时，f（x）_max=f（60）=6040
∵6040＜6104
∴x=32时，f（x）的最大值为6104万美元．

点评 本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．