Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=8，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）计算：①$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，②|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|
（Ⅱ）若（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解方程可得k的值．

解答 解：（Ⅰ）①∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=16+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+64=48，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-16；                 
②∵|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=16$\overrightarrow{a}$²-16$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²
=16×16-16×（-16）+4×64=16×16×3，
∴|4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=16$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）⊥（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$），
∴（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，
∴k$\overrightarrow{a}$²+（2k-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，
即16k-16（2k-1）-2×64=0．∴k=-7．
即k=-7时，$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$与k$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直．

点评 本题考查向量数量积的性质及运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．