Question

17．当x∈（-∞，1]，不等式$\frac{{1+{2^x}+{4^x}•a}}{{{a^2}-a+1}}$＞0恒成立，则实数a的取值范围为a＞$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 容易知道分母恒大于0，得到分子要恒大于0．

解答 解：${a}^{2}-a+1=（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
∴1+2^x+4^xa＞0，设t=2^x，因为x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以$；a＞-\frac{1+t}{{t}^{2}}$．
设$；f（t）=-（\frac{1}{t}）^{2}-\frac{1}{t}$，则$；f（t）=-（\frac{1}{t}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，因为0＜t≤2，所以$\frac{1}{t}≥\frac{1}{2}$，
所以$；{y}_{max}=-\frac{3}{4}$，所以a＞-$-\frac{3}{4}$．
故答案为：（-$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题