Question

20．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$图象上任意两点，M为线段AB的中点．已知点M的横坐标为$\frac{1}{2}$．若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n∈N^*，且n≥2．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}，n≥2}\\{\;}\end{array}\right.$，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用中点坐标公式可得x₁+x₂=1，求得f（x₁）+f（x₂）=1，运用倒序相加求和，计算即可得到所求和；
（Ⅱ）求得n=1时，λ＞$\frac{4}{9}$；当n≥2时，求得a_n=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和，求得T_n=$\frac{2n}{n+2}$，再由T_n＜λ（S_n+1+1），运用参数分离和基本不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）M为线段AB的中点，设M（x，y），
由$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=x=$\frac{1}{2}$，可得x₁+x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）=1+log₂$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+log₂$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$
=1+log₂$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=1+log₂1=1，
又S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），
S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）+…+f（$\frac{1}{n}$），
可得2S_n=[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+[f（$\frac{2}{n}$）+f（$\frac{n-2}{n}$）]+…[f（$\frac{n-1}{n}$）+f（$\frac{1}{n}$）]
=1+1+…+1=n-1，
则S_n=$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*，且n≥2）；
（Ⅱ）当n=1时，T₁＜λ（S₂+1），即$\frac{2}{3}$＜（$\frac{1}{2}$+1）λ，
解得λ＞$\frac{4}{9}$；
当n≥2时，a_n=$\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{2}{3}$+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2}{3}$+4（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{2n}{n+2}$，
由T_n＜λ（S_n+1+1），可得$\frac{2n}{n+2}$＜$\frac{n+2}{2}$λ，
即为λ＞$\frac{4n}{（n+2）^{2}}$=$\frac{4n}{{n}^{2}+4n+4}$=$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$，
由n+$\frac{4}{n}$≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$=4，当且仅当n=2时，取得等号．
则$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$≤$\frac{4}{4+4}$=$\frac{1}{2}$，
即有λ＞$\frac{1}{2}$．
则实数λ的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查数列的求和方法：倒序相加求和及裂项相消求和，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，运用基本不等式求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．