Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，m），m∈R．
（1）若m=$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}$的值；
（2）已知函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$-2m²-1，若函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可得出向量$\overrightarrow{b}$的坐标，根据$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$及平行向量的坐标关系即可得出cosx=3sinx，从而便可得出$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}$的值；
（2）可先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，然后进行向量坐标的数量积运算，并由二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m$，从而得出$m=sin（2x+\frac{π}{6}）$，而可以求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）在$[0，\frac{π}{2}]$的范围，从而可得出m的取值范围．

解答 解：（1）$m=\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{b}=（cosx，\sqrt{3}）$；
又$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
∴3sinx+cosx=0；
∴cosx=-3sinx；
∴$\frac{3sinx-cosx}{sinx+cosx}=\frac{6sinx}{-2sinx}=-3$
（2）$f（x）=2（\sqrt{3}sinx+cosx，m-1）•（cosx，m）$-2m²-1
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1+2{m}^{2}-2m-$2m²-1
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m$
根据题意，方程$2sin（2x+\frac{π}{6}）-2m=0$有解；
即m=$sin（2x+\frac{π}{6}）$有解；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$；
∴m的取值范围为$[-\frac{1}{2}，1]$．

点评 考查向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时坐标的关系，以及二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及不等式的性质，函数零点的定义，正弦函数的图象．