Question

19．已知函数f（x）=a^x-$\frac{1}{a^x}$（其中a＞0且a≠1，a为实数常数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围确定函数的单调性即可；
（2）问题转化为①若a＞1，t∈[0，1]，a^2t+1+m≥0，得m≥-（a^2t+1），②若0＜a＜1，t∈[0，1]，m≤-（a^2t+1），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）$f（x）={a^x}-\frac{1}{a^x}$的定义域为R，
设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，△x=x₂-x₁＞0，
则$△y=f（{x_2}）-f（{x_1}）={a^{x_2}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}-（{a^{x_1}}-\frac{1}{{{a^{x_1}}}}）$
=$（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）+\frac{1}{{{a^{x_1}}}}-\frac{1}{{{a^{x_2}}}}=（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）+\frac{{{a^{x_2}}-{a^{x_1}}}}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}$
=$（{a^{x_2}}-{a^{x_1}}）（1+\frac{1}{{{a^{{x_1}+{x_2}}}}}）$，
当a＞1时，△y＞0，f（x）为单调递增函数，
当0＜a＜1时，△y＜0，f（x）为单调递减函数；
（2）当t∈[0，1]时，${a^t}（{a^{2t}}-\frac{1}{{{a^{2t}}}}）+m（{a^t}-\frac{1}{a^t}）≥0$，
即${a^t}（{a^t}-\frac{1}{a^t}）（{a^t}+\frac{1}{a^t}）+m（{a^t}-\frac{1}{a^t}）≥0$，
①若a＞1，t∈[0，1]，${a^t}-\frac{1}{a^t}≥0$，所以a^2t+1+m≥0，得m≥-（a^2t+1），
因为t∈[0，1]，所以a^2t+1∈[2，a²+1]，-（a^2t+1）∈[-1-a²，-2]，
故m的取值范围是[-2，+∞）； 
②若0＜a＜1，t∈[0，1]，${a^t}-\frac{1}{a^t}≤0$，所以m≤-（a^2t+1），
因为t∈[0，1]，所以a^2t+1∈[a²+1，2]，-（a^2t+1）∈[-2，-1-a²]，
故m的取值范围是（-∞，-2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．