Question

18．已知（x-2$\root{3}{x}$）ⁿ的展开式中所有二项式系数之和为1024．
（1）求展开式的所有有理项；
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2ⁿ=1024，解得n，再利用通项公式即可得出．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数=${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$，再利用组合数的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：2ⁿ=1024，解得n=10，
$（x-2\root{3}{x}）^{10}$的通项公式为：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r$（-2\root{3}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{10-\frac{4r}{3}}$．
当r=0，3，6，9时，可得有理项：x¹⁰，$-8{∁}_{10}^{3}$x⁶，${2}^{6}{∁}_{10}^{6}$x²，-2⁹×10x．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数为：${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{3}^{3}+$${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{4}^{3}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{3}$+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n+1}^{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档础题．