Question

10．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），短轴的两个端点分别为B₁、B₂
（1）若△F₁B₁B₂为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点F₂的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且l的斜率为1，求|PQ|的长．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的几何性质得出a，b，c之间的关系解出a，b，c即可；
（2）联立直线方程与椭圆方程得出P，Q坐标的关系，代入弦长公式计算．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0）．
∵椭圆焦点坐标为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），
∴c=$\sqrt{3}$，
由椭圆的定义得B₁F₁=a，B₁B₂=2b，
∵△F₁B₁B₂为等边三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）直线l的方程为y=x-$\sqrt{3}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$．
∴|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{192}{25}-\frac{32}{5}}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，属于中档题．