Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别在AB、PB上，且BE：AE=1：2，PF：BF=2：1．
（1）求平面DEF与平面PBC所成钝二面角的余弦值；
（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出它的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建系D-xyz，利用向量法能求出平面DEF与平面PBC所成的钝二面角的余弦值．
（2）设在平面PAD内存在一点GG（a，0，b），使GF⊥平面PCB，则$\overrightarrow{GF}=（{2-a，2，1-b}）$．由此能求出结果．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建系D-xyz，设AB=3．
则D（0，0，0），E（3，2，0），F（2，2，1），P（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
$\overrightarrow{DE}$=（3，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（2，2，1），$\overrightarrow{PB}$=（3，3，-3），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-3），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=3x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2x+2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-3，2），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=3x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{17}}$=-$\frac{\sqrt{34}}{34}$，
故平面DEF与平面PBC所成的钝二面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{34}}}{34}$．
（2）在平面PAD内存在一点G，使GF⊥平面PCB．
设G（a，0，b），则$\overrightarrow{GF}=（{2-a，2，1-b}）$．
若GF⊥平面PCB，则$\overrightarrow{GF}∥\overrightarrow n$，即$\overrightarrow{GF}=λ\overrightarrow n$
因此（2-a，2，1-b）=λ（0，1，1），
故$\left\{\begin{array}{l}2-a=0\\ 2=λ\\ 1-b=λ\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$
故G（2，0，-1）．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．