Question

19．已知抛物线E：x²=2py（p＞0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y₁+y₂+p=8，即可求抛物线C的方程；
（2）求出直线AB的方程是y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1，C（0，1），可得S_△OBC=|$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$|≤$\frac{1}{2}$，即可求△OBC面积的最大值．

解答 解：（1）由题可知F（0，$\frac{p}{2}$），则该直线方程为：y=x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py（p＞0）得：x²-2px-p²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=2p，
∵|MN|=8，∴y₁+y₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：x²=4y；
（2）设A（t，$\frac{{t}^{2}}{4}$），则E在点A处的切线方程为y=$\frac{t}{2}$x-$\frac{{t}^{2}}{4}$，P（$\frac{t}{2}$，0），B（$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$，$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}+4}$），
直线AB的方程是y=$\frac{{t}^{2}-4}{4t}$x+1，∴C（0，1）
S_△OBC=|$\frac{2t}{{t}^{2}+4}$|≤$\frac{1}{2}$，当且仅当t=±2时，取得等号，
所以△OBC面积的最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．