Question

8．给出下列命题：
①已知ξ服从正态分布N（0，σ²），且P（-2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=0.3；
②f（x-1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则$f（{{2^{\frac{1}{8}}}}）＞f（{{{log}_2}（{\frac{1}{8}}）}）＞f{（{{{（{\frac{1}{8}}）}^2}}）_{\;}}$；
③已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$；
④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae^x+b的图象过点（0，1），则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是$4\sqrt{2}$．
其中正确命题的序号是①② （把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①根据正态分布的性质进行判断，
②根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断，
③根据直线垂直的等价条件进行判断，
④根据基本不等式的性质进行判断即可．

解答 解：①若ξ服从正态分布N（0，σ²），且P（-2≤ξ≤2）=0.4，则P（ξ＞2）=$\frac{1-P（-2≤ξ≤2）}{2}$=$\frac{1-0.4}{2}$=0.3，故①正确，
②f（x-1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（x）关于x=-1对称，且在（-1，+∞）上单调递增，
${2}^{\frac{1}{8}}$＞1，log₂$\frac{1}{8}$=-3，（$\frac{1}{8}$）²∈（0，1），
则f（log₂$\frac{1}{8}$）=f（-3）=f（1），
则f（${2}^{\frac{1}{8}}$）＞f（1）＞f（（$\frac{1}{8}$）²），即f（${2}^{\frac{1}{8}}$）＞f（log₂$\frac{1}{8}$）＞f（（$\frac{1}{8}$）²），故②正确，
③当b=0，a=0时，两直线分别为l₁：3y-1=0，l₂：x+1=0，满足l₁⊥l₂，故l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$错误，故③错误，
④已知a＞0，b＞0，函数y=2ae^x+b的图象过点（0，1），则2a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（2a+b）=2+1+$\frac{2a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，
即则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．故④错误，
故答案为：①②．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．