Question

5．已知定义在R上的偶函数，f（x）在x＞0时，f（x）=e^x+lnx，若f（a）＜f（a-1），则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 函数y=e^x，y=lnx在（0，+∞）上都为增函数，从而得到f（x）在（0，+∞）上为增函数，从而由f（x）为偶函数及f（a）＜f（a-1）得到f（|a|）＜f（|a-1|），从而得到|a|＜|a-1|，解该不等式即得a的取值范围．

解答 解：∵x＞0时，f（x）=e^x+lnx，
y=e^x，y=lnx在（0，+∞）上都是增函数；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故f（x）在（-∞，0）上单调递减；
若f（a）＜f（a-1），则f（|a|）＜f（|a-1|），则|a|＜|a-1|；
∴解得a＜$\frac{1}{2}$；
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．
故选：B

点评 考查指数函数、对数函数的单调性，f（x），g（x）在区间I上都为增函数时，f（x）+g（x）在I上也是增函数，偶函数的定义，以及增函数定义的运用．