【题目】已知函数f(x)=cos(ωx+ ),(ω>0,0<φ<π),其中x∈R且图象相邻两对称轴之间的距离为
;
(1)求f(x)的对称轴方程和单调递增区间;
(2)求f(x)的最大值、最小值,并指出f(x)取得最大值、最小值时所对应的x的集合.
【答案】
(1)解:函数f(x)=cos(ωx+ )的图象的两对称轴之间的距离为
=
,
∴ω=2,f(x)=cos(2x+ ).
令2x+ =kπ,求得x=
﹣
,可得对称轴方程为 x=
﹣
,k∈Z.
令2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ,求得 kπ﹣
≤x≤kπ﹣
,
可得函数的增区间为[kπ﹣ ,kπ﹣
],k∈Z
(2)解:当2x+ =2kπ,即x=kπ﹣
,k∈Z时,f(x)取得最大值为1.
当2x+ =2kπ+π,即x=kπ+
,k∈Z时,f(x)取得最小值为﹣1.
∴f(x)取最大值时相应的x集合为{x|x=kπ﹣ ,k∈Z};
f(x)取最小值时相应的x集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}
【解析】(1)由条件利用余弦函数的图象特征,求得ω的值,可得函数的解析式,再利用余弦函数的单调性得出结论.(2)由条件利用余弦函数的最值,求得f(x)取得最大值、最小值时所对应的x的集合.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)证明:AE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值.
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【题目】给出下列命题: ①把函数y=sin(x﹣ )图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(2x﹣
);
②若α,β是第一象限角且α<β,则cosα>cosβ;
③x=﹣ 是函数y=cos(2x+
π)的一条对称轴;
④函数y=4sin(2x+ )与函数y=4cos(2x﹣
)相同;
⑤y=2sin(2x﹣ )在[0,
]是增函数;
则正确命题的序号 .
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【题目】某公司对新研发的一种产品进行合理定价,且销量与单价具有相关关系,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(单位:元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
销量y(单位:万件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)现有三条y对x的回归直线方程: =﹣10x+170;
=﹣20x+250;
=﹣15x+210;根据所学的统计学知识,选择一条合理的回归直线,并说明理由.
(2)预计在今后的销售中,销量与单价服从(1)中选出的回归直线方程,且该产品的成本是每件5元,为使公司获得最大利润,该产品的单价应定多少元?(利润=销售收入﹣成本)
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【题目】在物理实验中,为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响.某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表:
物体重量(单位g) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
弹簧长度(单位cm) | 1.5 | 3 | 4 | 5 | 6.5 |
参考公式:
①.样本数据x1 , x2 , …xn的标准差
s= ,其中
为样本的平均数;
②.线性回归方程系数公式 =
=
,
=
﹣
.
(1)画出散点图;
(2)利用所给的参考公式,求y对x的回归直线方程;
(3)预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2bx+c,且f(1)=f(3)=﹣1.设a>0,将函数f(x)的图像先向右平移a个单位长度,再向下平移a2个单位长度,得到函数g(x)的图像. (Ⅰ)若函数g(x)有两个零点x1 , x2 , 且x1<4<x2 , 求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设连续函数在区间[m,n]上的值域为[λ,μ],若有 ,则称该函数为“陡峭函数”.若函数g(x)在区间[a,2a]上为“陡峭函数”,求实数a的取值范围.
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