Question

【题目】已知函数

（）当时，求的单调区间和极值.

（）若对于任意，都有成立，求的取值范围 ；

（）若且证明：

Answer 1

【答案】⑴详见解析；⑵详见解析.

【解析】试题分析：（1）求导数分类讨论①时,②当时，令解得，当时，当写出单调区间及极值．

（2）转化为对于恒成立．分离参数对于恒成立,利用导数求不等式右边的最大值即可．

（3）不妨设则,要证只要证即证因为在区间上单调递增,所以

又即证构造函数函数在区间上单调递增,故而故

所以即所以成立．

试题解析：⑴

①时,因为所以

函数的单调递增区间是，无单调递减区间,无极值；

②当时，令解得，

当时，当

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

在区间上的极小值为无极大值．

⑵ 由题意，

即问题转化为对于恒成立．

即对于恒成立,

令,则

令,则

所以在区间上单调递增,故故

所以在区间上单调递增,函数

要使对于恒成立,只要,

所以即实数的取值范围为．

⑶ 因为由⑴知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,且

不妨设则,

要证只要证即证

因为在区间上单调递增,所以

又即证

构造函数

即

因为,所以即

所以函数在区间上单调递增,故

而故

所以即所以成立．