Question

如图，函数f（x）=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0≤θ≤

π

2

）的图象与y轴相交于点（0，

3

），且该函数相邻两零点距离为

π

2

．
（Ⅰ）求θ和ω的值；
（Ⅱ）若f（

1

2

x-

π

12

）=

8

5

，x∈（0，π），求

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用三角恒等变换可得要求的式子为tanx，由条件求得cosx的值，结合x的范围，求得tanx的值．

解答： 解：（1）由题意可得T=

2π

ω

=2×

π

2

，∴ω=2．将x=0，y=

3

代入函数f（x）=2cos（2x+θ）得cosθ=

3

2

，
因为0≤θ≤

π

2

，所以 θ=

π

6

，∴f（x）=2cos（2x+

π

6

）．
（2）∵

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

=

sinx(1+2cosx)

cosx+2cos2x

=tanx，
又f(

1

2

x-

π

12

)=

8

5

，由（1）可知 2cos[2(

x

2

-

π

12

)+

π

6

]=2cosx=

8

5

⇒cosx=

4

5

，
又x∈（0，π），∴x∈(0，

π

2

)，∴tanx=

3

4

，即

sinx+sin2x

1+cosx+cos2x

=

3

4

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图
求出φ的值，属于基础题．