Question

若抛物线C₁：有y²=4x的焦点与椭圆C₂的右焦点重合，椭圆的上顶点为B，右顶点为A，椭圆的左、右焦点为F₁、F₂，3|

F1B

|cos∠BF₁F₂=

3

|

OB

|
（Ⅰ）求椭圆C₂的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k＞0）的直线l，过点D（0，2），且与椭圆C₂交于M，N两点．H为M，N的中点，且

OH

∥

AB

，求斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意求出a，b，c 从而得到椭圆的方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理化简，进而由平行解k．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，F₁（-1，0），F₂（1，0）；
|

F1B

|=a，cos∠BF₁F₂=

c

a

，|

OB

|=b；
∵3|

F1B

|cos∠BF₁F₂=

3

|

OB

|，
∴3a•

c

a

=

3

b；即b=

3

•c=

3

．
则a=2．
∴椭圆C₂的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，
与

x2

4

+

y2

3

=1联立可得，
3x²+4（kx+2）²-12=0，
即（4k²+3）x²+16kx+4=0，
则△=（16k）²-4×4×（4k²+3）＞0，
解得，k＞

1

2

．
此时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

16k

4k2+3

，y₁+y₂=k•（-

16k

4k2+3

）+2=

-8k2+6

4k2+3

，
则点H（-

8k

4k2+3

，

-4k2+3

4k2+3

），
∵

OH

∥

AB

，
∴

-4k2+3

-8k

=

3 -0

0-2

，
解得，k=

6 - 3

2

．

点评：本题考查了椭圆的方程求法，及椭圆与直线联立的相关问题，化简比较难，要细致，属于中档题．