【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若有两个零点,求实数
的范围;
(3)已知函数与函数
的图象关于原点对称,如果
,且
,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析: 求导即可求函数
的单调区间和极值
,求导后分类讨论当
时、当
时、当
时、当
时的情况,给出结果
令
,求导证明
可得
,得证
解析:(1)根据,
令,解得
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
递减 | 递增 |
∴函数的增区间为
,减区间为
;函数
在
处取的极小值
,无极大值.
(2)由,则
,
当时,
,易知函数
只有一个零点,不符合题意,
当时,在
上
,
单调递减;在
上
,
单调递增,又
,
,当
时,
,所以函数
有两个零点,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.又
,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.
又,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,
,函数在
上单调递增,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
综上,实数的取值范围是
.
(3)由,
,令
,解得
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
递增 | 递减 |
由,不妨设
,根据
结合图象可知
,
,
令,
,则
,∵
,
,∴
,则
,∴
在
单调递增,又∵
,∴
时,
,即当
时,
,则
,
又,∴
,因
,∴
,∴
,∵
在
上是增函数,∴
,∴
得证.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某电视台在互联网上征集电视节目的现场参与观众,报名的共有12000人,分别来自4个地区,其中甲地区2400人,乙地区4605人,丙地区3795人,丁地区1200人,主办方计划从中抽取60人参加现场节目,请设计一套抽样方案.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,过抛物线上一点
作抛物线
的切线
,
交
轴于点
.
(1)判断的形状;
(2) 若两点在抛物线
上,点
满足
,若抛物线
上存在异于
的点
,使得经过
三点的圆与抛物线在点
处的有相同的切线,求点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】返乡创业的大学生一直是人们比较关注的对象,他们从大学毕业,没有选择经济发达的大城市,而是回到自己的家乡,为养育自己的家乡贡献自己的力量,在享有“国际花园城市”称号的温江幸福田园,就有一个由大学毕业生创办的农家院“小时代”,其独特的装修风格和经营模式,引来无数人的关注,带来红红火火的现状,给青年大学生们就业创业上很多新的启示.在接受采访中,该老板谈起以下情况:初期投入为72万元,经营后每年的总收入为50万元,第n年需要付出房屋维护和工人工资等费用是首项为12,公差为4的等差数列(单位:万元).
(1)求;
(2)该农家乐第几年开始盈利?能盈利几年?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(3)该农家乐经营多少年,其年平均获利最大?年平均获利的最大值是多少?(年平均获利前
年总获利
)
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