Question

8．在△ABC中，$c=\sqrt{2}$，acosC=csinA，若当a=x₀时的△ABC有两解，则x₀的取值范围是（　　）

• A． $（1，\sqrt{2}）$
• B． $（1，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{3}，2）$
• D． $（\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 利用正弦定理把边化成角的正弦，化简整理可求得C，进而根据正弦定理求得a的表达式，根据题意求得A的范围，进而求得a的范围．

解答 解：∵acosC=csinA，
∴sinAcosC=sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=sinC，
∴C=$\frac{π}{4}$，
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
∴a=2sinA，
∵A+B=$\frac{3π}{4}$，
∴B=$\frac{3π}{4}$-A，
要是三角形有两个解，需B为锐角，
∴A＞$\frac{π}{4}$，
∵A=$\frac{3π}{4}$-B，
∴A＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜A＜$\frac{3π}{4}$，
∴2sinA∈（$\sqrt{2}$，2）
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，解三角形问题．考查了学生的推理能力和细心程度．