Question

已知函数f(x)=

ex，x≥0 -3x，x＜0

，则关于x的方程f（f（x））+m=0给出下列四个命题，正确的个数是（　　）
①存在实数m，使方程恰有1个实数根；
②存在实数m，使方程恰有2个不相等的实数根；
③存在实数m，使方程恰有3个不相等的实数根；
④存在实数m，使方程恰有4个不相等的实数根．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：设g（x）=f（f（x）），根据分段函数的表达式，求出g（x）的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：∵f(x)=

ex，x≥0 -3x，x＜0

，∴f（x）＞0，
设g（x）=f（f（x）），
当x≥0，f（x）=e^x≥1，g（x）=f（f（x））=eex，则根据复合函数单调性之间的性质可得g（x）在[0，+∞）单调递增，且g（x）≥g（0）=e，
当x＜0，f（x）=-3x＞0，g（x）=f（f（x））=e^-3x=(

1

e3

)x，g（x）在（-∞，0）单调递减，且g（x）＞1，
即g（x）=

eex， x≥0 ( 1 e3 )x， x＜0

，
作出函数g（x）的草图如图：
由f（f（x））+m=0得f（f（x））=-m，
即g（x）=-m，
由图象可知，当-m≥e，即m≤-e时，两个函数图象有2个交点，此时方程f（f（x））+m=0有2个不同的根，
当1＜-m＜e，即-e＜m＜-1时，两个函数图象有1个交点，此时方程f（f（x））+m=0有1个根，
当-m≤1，即m≥-1时，两个函数图象没有交点，此时方程f（f（x））+m=0有0个根，
故①②正确，③④错误．
故选：B．

点评：本题考查函数的零点与方程的根的问题，利用分段函数求出函数的表达式画出图象是解题的关键．