Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率e=

3

2

，一个焦点的坐标为（

3

，0）．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）设直线l：y=

1

2

x+m与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T．当m变化时，求△TAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得c，进而根据离心率求得a，进而根据b²=a²-c²求得b，则椭圆的方程可得．
（II）把直线方程与椭圆方程联立，消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而求得|AB|的表达式，表示x₀和y₀，进而可知M的坐标，设T（t，0），根据MT⊥AB，可推断出k_MT•k_AB=-1进而求得|MT|的表达式，根据三角形面积公式求得面积的表达式，根据m的范围确定三角形面积的最大值．

解答：解：（I）依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵c=

3

，e=

c

a

=

3

2

∴a=2，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程是

x2

4

+y2=1
（II）由

x2 4 +y2=1 y= 1 2 x+m

得x2+4(

1

2

x+m)2=4，即x2+2mx+2m2-2=0
令△＞0，得8-4m²＞0，∴-

2

＜m＜

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀）
则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2
|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

5(2-m2)

x₀=

x1+x2

2

=-m，y₀=

x0

2

+m=

1

2

m
∴M（-m，

1

2

m）
设T（t，0），
∵MT⊥AB，
∴k_MT•k_AB=

0- m 2

t+m

=-1
∴|MT|=

1 16 m2+ 1 4 m2

=

5

4

|m|．
∴S△TAB=

1

2

|AB|•|MT|=

1

2

•

5(2-m2)

•

5

4

|m|=

5

8

-(m2-1)2+1

．
∵-

2

＜m＜

2

，
∴当m²=1，即m=±1时，S_△TAB取得最大值为

5

8

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．