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(本小题满分12分)
设函数f (x)=,其中a∈R.
(1)若a=1,f (x)的定义域为[0,3],求f (x)的最大值和最小值.
(2)若函数f (x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数.

(1)f (x)max=,f (x)min=-1;(2)a<-1。

解析试题分析:f (x)==a-
设x1,x2∈R,则f (x1)-f (x2)=.        ……2分
(1)当a=1时,设0≤x1<x2≤3,则f (x1)-f (x2)=
又x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,所以f (x1)-f (x2)<0,
∴f (x1)<f (x2),                                   ……4分
所以f (x)在[0,3]上是增函数,所以f (x)max=f (3)=1-
f (x)min=f (0)=1-=-1.                        ……7分
(2)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0
要f (x)在(0,+∞)上是减函数,只要f (x1)-f (x2)<0
而f (x1)-f (x2)=,所以当a+1<0即a<-1时,有f (x1)-f (x2)<0,所以f (x1)<f (x2),
所以当a<-1时,f (x)在定义域(0,+∞)上是单调减函数.       ……12分
考点:本题考查函数的性质:单调性;定义域;最值。
点评:对于形如的函数,我们常采取分离常数法化为的形式。而的图像可以有反比例函数的图像经过平移伸缩变换得到。

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