(本小题满分12分)
设函数f (x)=,其中a∈R.
(1)若a=1,f (x)的定义域为[0,3],求f (x)的最大值和最小值.
(2)若函数f (x)的定义域为区间(0,+∞),求a的取值范围使f (x)在定义域内是单调减函数.
(1)f (x)max=,f (x)min=-1;(2)a<-1。
解析试题分析:f (x)===a-,
设x1,x2∈R,则f (x1)-f (x2)==. ……2分
(1)当a=1时,设0≤x1<x2≤3,则f (x1)-f (x2)=.
又x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,所以f (x1)-f (x2)<0,
∴f (x1)<f (x2), ……4分
所以f (x)在[0,3]上是增函数,所以f (x)max=f (3)=1-=;
f (x)min=f (0)=1-=-1. ……7分
(2)设x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0
要f (x)在(0,+∞)上是减函数,只要f (x1)-f (x2)<0
而f (x1)-f (x2)=,所以当a+1<0即a<-1时,有f (x1)-f (x2)<0,所以f (x1)<f (x2),
所以当a<-1时,f (x)在定义域(0,+∞)上是单调减函数. ……12分
考点:本题考查函数的性质:单调性;定义域;最值。
点评:对于形如的函数,我们常采取分离常数法化为的形式。而的图像可以有反比例函数的图像经过平移伸缩变换得到。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题13分)已知函数。
(Ⅰ)若,试判断并证明的单调性;
(Ⅱ)若函数在上单调,且存在使成立,求的取值范围;
(Ⅲ)当时,求函数的最大值的表达式。
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(本题满分12分)已知函数
(1)当的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数在区间上为减函数,且最大值为1,若存在,求出值;若不存在,说明理由。
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(本小题满分14分)设函数(),.
(Ⅰ)令,讨论的单调性;
(Ⅱ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
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