Question

数列满足，．
（Ⅰ）求、、；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）令，求．

Answer 1

（Ⅰ）、、；
（Ⅱ）
（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由递推公式即可求出、、；（Ⅱ）方法一：猜想出通项公式，然后用数学归纳法证明；方法二：由递推公式可以构造等比数列，借助等比数列可以求出通项公式；方法二：由递推公式可以构造等差数列，借助等差数列可以求出通项公式；.
（Ⅰ）由递推公式：、、；                       3分
（Ⅱ）方法一：猜想：，下面用数学归纳法证明：   
① ，猜想成立；
② 假设时，，
则，即时猜想成立，
综合①②，由数学归纳法原理知：．                   8分
方法二：由得，
所以：．                               8分
方法三：由得：，两式作差得：，
于是是首项，公差为的等差数列，那么，
且是首项，公差为的等差数列，那么，
综上可知：．                            8分
（Ⅲ）
             10分
．                     12分.