Question

16．已知函数f（x）的定义域为[-2，2]，对任意的x，y∈[-2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0，f（1）=1，若不等式f（x）＜log_am（a＞1）对任意的实数x∈[-2，2]恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [a²，+∞）
• B． （0，a²]
• C． （a²，+∞）
• D． （0，a²）

Answer 1

分析 根据抽象函数的条件，判断函数的奇偶性和单调性，利用不等式恒成立转化为函数的最值问题进行求解即可．

解答 解：∵令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数；
设-2≤x₁＜x₂≤2，则，x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，则f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在[-2，2]为增函数；
 则函数的最大值为f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=1+1=2，
若不等式f（x）＜log_am（a＞1）对任意的实数x∈[-2，2]恒成立，
则2＜log_am，
∵a＞1，
∴m＞a²，
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用抽象函数的关系判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．