Question

17．已知等比数列{a_n}的首项为$\frac{4}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$，其前n项和为S_n，若N≤3S_n-$\frac{2}{S_n}≤{M}$对n∈N^*恒成立，则M-N的最小值为$\frac{25}{12}$．

Answer 1

分析 先利用等比数列的求和公式求出S_n，求出S_n的范围，确定3S_n-$\frac{2}{{S}_{n}}$，求出最小值、最大值，即可求出M-N的最小值．

解答 解：∵等比数列{a_n}的首项为$\frac{4}{3}$，公比为-$\frac{1}{3}$，
∴S_n=$\frac{\frac{4}{3}（1-（-\frac{1}{3}）^{n}）}{1+\frac{1}{3}}$=1-（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，
令t=（-$\frac{1}{3}$）ⁿ，则-$\frac{1}{3}$≤t≤$\frac{1}{9}$，S_n=1-t，
∴$\frac{8}{9}$≤S_n≤$\frac{4}{3}$
∵3S_n-$\frac{2}{{S}_{n}}$的最小值为$\frac{5}{12}$，最大值为$\frac{5}{2}$，
∴对任意n∈N^*恒成立，则M-N的最小值$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{12}$=$\frac{25}{12}$，
故答案为：$\frac{25}{12}$

点评 本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．