Question

9．已知命题p：?x∈R，1-2sin²x+sinx+a≥0，命题q：?x₀∈R，ax₀²-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，结合复合命题的真假，求出对应的a的范围即可．

解答 解：由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin²x-sinx-1，
因为sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=-1时，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命题p：a≥2，
由命题q得：当a≤0时显然成立；
当a＞0时，需满足△=4-4a²＞0，
解得0＜a＜1，
所以命题q：a＜1，
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假，
若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1，
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪[2，+∞）．

点评 本题考查了三角函数、二次函数的性质，考查复合命题的判断，是一道中档题．