Question

12．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$x-$\overrightarrow{a}$）的图象是一条直线，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1，则f（x）=2x．

Answer 1

分析 根据平面向量数量积的运算以及f（x）的图象是一条直线，
得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，再利用|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1求出${\overrightarrow{b}}^{2}$的值，从而得出f（x）．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，f（x）=（$\overrightarrow{a}$x+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$x-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x²+（${\overrightarrow{b}}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$）x-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$，
且f（x）的图象是一条直线，∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0；
又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$|=1，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1+0+${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，
解得${\overrightarrow{b}}^{2}$=3，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$=3-1=2，
∴f（x）=2x．
故答案为：2x．

点评 本题考查了平面向量的数量积与函数的图象与性质的应用问题，是基础题．