Question

7．求函数f（x）=asin²x+2asinx+4的值域．

Answer 1

分析 化简函数的解析式为f（x）=a（sinx+1）²+4-a，sinx∈[-1，1]，再利用二次函数的性质、分类讨论，求得它的值．

解答 解：∵函数f（x）=asin²x+2asinx+4=a（sinx+1）²+4-a，∵sinx∈[-1，1]，
故当a＞0时，则sinx=-1时，函数f（x）取得最小值为4-a，sinx=1时，函数f（x）取得最大值为4+3a，故函数的值域为[4-a，4+3a]；
当a=0时，函数的值域为{4}．
当a＜0时，则sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为4-a；当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为3a+4，故函数的值域为[4+3a，4-a]．

点评 本题主要考查二次函数的性质，正弦函数的值域，属于中档题．