Question

已知向量

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x）），

m

∥

n

，（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=lnx-ax（a＞0），若对于任意x₂∈（0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由向量共线的坐标运算得到函数f（x）的解析式，求导后由在x=1时的导数值等于0得到k的值，再对F（x）=xe^xf′（x）求导，由导函数的符号得到F（x）的单调区间；
（Ⅱ）把对于任意x₂∈（0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁）转化为g_max（x）＜F_max（x），由导数求出函数g（x）的最大值，结合（Ⅰ）求得F（x）的最大值，解不等式得到a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（e^x，lnx+k），

n

=（1，f（x））且

m

∥

n

，
则e^xf（x）=lnx+k，∴f（x）=

lnx+k

ex

，
∴f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知f′(1)=

1-k

e

=0，∴k=1．
∴F(x)=xexf′(x)=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x．
∴F′（x）=-lnx-2．
由F′（x）=-lnx-2≥0，解得：0＜x≤

1

e2

．
由F′（x）=-lnx-2≤0，解得x≥

1

e2

．
∴F（x）的增区间为（0，

1

e2

]，减区间为[

1

e2

，+∞）；
（Ⅱ）∵对于任意x₂∈（0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g_max（x）＜F_max（x）．
由（Ⅰ）知，当x=

1

e2

时，F（x）取得最大值F（

1

e2

）=1+

1

e2

．
对于g（x）=lnx-ax，g′(x)=

1

x

-a=

1-ax

x

，
当x∈(0，

1

a

)时，g′（x）＞0，g（x）=lnx-ax为增函数，
当x∈(

1

a

，+∞)时，g′（x）＜0，g（x）=lnx-ax为减函数，
若

1

a

≥1，函数g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=-a，
由-a＜1+

1

e2

，得a＞-1-

1

e2

，则0＜a≤1；
若0＜

1

a

＜1，∴gmax(x)=g(

1

a

)=-lna-1＜1+

1

e2

，
解得：a＞1．
综上，实数a的取值范围是a＞0．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了向量共性的坐标表示，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，解答的关键是对问题（Ⅱ）的转化，是高考试卷中的压轴题．