Question

（2013•松江区二模）在二项式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展开式中，常数项的值是-20，则

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

-

1

4

．

Answer 1

分析：先求出二项式的展开式的通项为T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r，令6-2r=0可求r，结合已知常数项的 值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限

解答：解：由题意二项式(ax+

3

x

)6(a∈R)的展开式的通项为T_r+1=

a6-r•3rC

r 6

x6-2r
令6-2r=0可得r=3
此时的常数项为T4=(3a)3

C

3 6

=-20，解得a=-

1

3

则

lim

n→∞

(a+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=-

1

4

故答案为：-

1

4

点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．