Question

抛物线y²=4x焦点为F，过F作弦AB，O是坐标原点，若三角形ABO面积是2

2

，则弦AB的中点坐标是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则利用三角形ABO面积是2

2

，可得|y₁-y₂|=4

2

，设直线AB的方程为x=my+1，代入y²=4x，求出m的值，即可求出弦AB的中点坐标．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．
∵三角形ABO面积是2

2

，
∴|y₁-y₂|=4

2

，
设直线AB的方程为x=my+1，代入y²=4x得：
y²=4（1+my），即y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=

16m2+16

=4

2

，
∴m=±1，
∴y₁+y₂=±4，
∴弦AB的中点纵坐标为±2，可得弦AB的中点横坐标为3，
∴弦AB的中点坐标是（3，2）或（3，-2）．
故答案为：（3，2）或（3，-2）．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用抛物线的定义求得问题的答案．