Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-p，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）当p=2时，数列{a_n}满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n（n∈N⁺），求数列{nb_n}的前项n和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-p，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a₁=2a₁-p，由此能证明{a_n}是首项为p，公比为2的等比数列．
（2）当p=2时，a_n=2ⁿ，从而b_n+1-b_n=2ⁿ，由此利用累加法能求出b_n=2ⁿ．从而nb_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2^n-1+2．

解答： （1）证明：因为S_n=2a_n-p（n∈N^*），
则S_n-1=2a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
整理得a_n=2a_n-1
由S_n=2a_n-p，令n=1，得a₁=2a₁-p，
解得a₁=p，
所以{a_n}是首项为p，公比为2的等比数列．
（2）解：当p=2时，a_n=2ⁿ，
∵满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n=bn+2n，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ，
∴b_n=b₁+b₂-b₁+b₃-b₂+…+b_n-b_n-1
=2+2+2²+2³+…+2^n-1
=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ．
∴nb_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2^n-1+2．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用．