Question

6．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得$\frac{7}{78}$斤金．（不作近似计算）

Answer 1

分析 根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．

解答 解：设第十等人得金a₁斤，第九等人得金a₂斤，以此类推，第一等人得金a₁₀斤，
则数列{a_n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{8}+{a}_{9}+{a}_{10}=4}\\{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+24d=4}\\{4{a}_{1}+6d=3}\end{array}\right.$，
解得d=$\frac{7}{78}$，
所以每一等人比下一等人多得斤金$\frac{7}{78}$．

点评 本题考查等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想．