Question

10．在△ABC中，若a+c=2b，则有（　　）

• A． 60°≤B≤90°
• B． 0°＜B≤60°
• C． 90°≤B≤120°
• D． 120°≤B≤180°

Answer 1

分析 由a+c=2b得b=$\frac{a+c}{2}$，代入cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$化简，由不等式求出cosB的范围，由内角的范围、余弦函数的性质求出B的范围．

解答 解：由a+c=2b得，b=$\frac{a+c}{2}$，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{（\frac{a+c}{2}）}^{2}}{2ac}$
=$\frac{\frac{3}{4}（{a}^{2}+{c}^{2}）-\frac{1}{2}ac}{2ac}$=$\frac{3}{8}•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}-\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$$-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=c时取等号，
因为0°＜B＜180°，所以0°＜B≤60°，
故选：B．

点评 本题考查余弦定理的应用，余弦函数的性质，以及不等式的应用，注意内角的范围，属于中档题．