Question

13．如图，AA₁，BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA₁，CB₁的中点，BA=$\sqrt{7}，AC=3，{B_1}C=4\sqrt{2}$
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）求圆柱OO₁的体积和表面积．

Answer 1

分析 （1）连结OE，OA，证明四边形OADE是平行四边形得出DE∥OA，故而DE∥平面ABC；
（2）利用勾股定理求出圆柱的底面半径和母线长，代入公式计算即可．

解答 （1）证明：连结OE，OA，
则OE∥BB₁，OE=$\frac{1}{2}$BB₁，
又AD∥BB₁，AD=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴四边形ADEO是平行四边形，
∴DE∥OA，又OA?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
（2）解：∵BC是圆O的直径，
∴AB⊥AC，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=4，
∴BB₁=$\sqrt{{B}_{1}{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴圆柱的表面积S_表=2π×2×4+2π×2²=24π，
圆柱的体积V=π×2²×4=16π．

点评 本题考查了圆柱的结构特征，线面平行的判定，体积与表面积计算，属于基础题．