Question

8．在平面直角坐标系xOy和极坐标系中，极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，直线l过点（1，1），倾斜角α的正切值为-$\frac{3}{4}$，曲线C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
（1）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线l与曲线C的位置关系，若直线l与曲线C相交，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，从而sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，进而cos α=-$\frac{4}{5}$，sin α=$\frac{3}{5}$，由此能求出直线l的参数方程；由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）由点（1，1）在圆x²+y²-4x-4y=0内部，知直线l与曲线C相交．设直线l与曲线C的交点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，将$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t为参数）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，由此能求出直线l被曲线C截得的弦长．

解答 解：（1）由题知tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α＜π，sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，
代入sin²α+cos²α=1，得$\frac{9}{16}co{s}^{2}α$+cos²α=1，
解得cos α=-$\frac{4}{5}$，∴sin α=$\frac{3}{5}$，∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t为参数）．（3分）
由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ=4sin θ+4cos θ，
即ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，得x²+y²-4x-4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x-4y=0．（5分）
（2）∵1²+1²-4×1-4×1=-6＜0，∴点（1，1）在圆x²+y²-4x-4y=0内部，
∴直线l与曲线C相交．（7分）
设直线l与曲线C的交点M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
将$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t为参数）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{2}{5}$，t₁t₂=-6，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2}{5}）^{2}-4×（-6）}$=$\frac{2\sqrt{151}}{5}$，
∴直线l被曲线C截得的弦长为$\frac{2\sqrt{151}}{5}$．（10分）

点评 本题考查直线参数方程的求法，考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．