Question

16．已知曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为 ρ sin（θ+$\frac{π}{6}$）=m．
（I）求曲线C与直线l的直角坐标方程；
（II）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化为ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程，直线l的极坐标方程转化为$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，由此能求出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）由直线l与曲线C有且只有一个公共点，利用圆心到直线的距离等于半径，能求出实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为 ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
化为直角坐标方程为x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
直线l的极坐标方程是 ρ sin（θ+$\frac{π}{6}$）=m，即$\frac{1}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ=m，
化为直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-2m=0．
（Ⅱ）∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，
∴圆心（1，0）到直线l的距离等于圆半径r=1，
∴$\frac{|1-2m|}{2}$=1，解得m=-$\frac{1}{2}$或m=$\frac{3}{2}$．
∴所求实数m的值为-$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．