Question

5．已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（Ⅰ）设a=2，$b=\frac{1}{2}$，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）当a=$\frac{1}{2}$，b=2时，若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可得f（x）=2^x+2^-x，
方程f（x）=2，即 （2^x-1）²=0，于是2^x=1，解得x
（Ⅱ）由条件知f（2x）=2^2x+2^-2x=（2^x+2^-x）²-2=[f（x）]²-2
因为$m≤\frac{{{{[f（x）]}^2}+4}}{f（x）}$对于x∈R恒成立
而$\frac{{{{[f（x）]}^2}+4}}{f（x）}=f（x）+\frac{4}{f（x）}≥2\sqrt{f（x）•\frac{4}{f（x）}}=4$，且$\frac{{{{[f（0）]}^2}+4}}{f（0）}=4$，即可得实数m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为$a=2，\;b=\frac{1}{2}$，所以f（x）=2^x+2^-x，
方程f（x）=2，即2^x+2^-x=2，亦即（2^x）²-2×2^x+1=0
所以（2^x-1）²=0，于是2^x=1，解得x=0…（5分）
（Ⅱ）由条件知f（2x）=2^2x+2^-2x=（2^x+2^-x）²-2=[f（x）]²-2
因为$m≤\frac{{{{[f（x）]}^2}+4}}{f（x）}$对于x∈R恒成立
而$\frac{{{{[f（x）]}^2}+4}}{f（x）}=f（x）+\frac{4}{f（x）}≥2\sqrt{f（x）•\frac{4}{f（x）}}=4$，且$\frac{{{{[f（0）]}^2}+4}}{f（0）}=4$
所以m≤4，故实数m的最大值为4…（12分）

点评 本题考查了指数式方程，基本不等式处理恒成立问题，属于中档题．