Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁上一点，平面B₁CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA₁=2．
（1）求平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角α的大小；（文科只要求求tanα）
（2）求点A到平面B₁CE的距离．

Answer 1

分析：（1）由长方体的几何特征可得BC⊥平面BB₁E，由面面垂直的判定定理可得平面BB₁E⊥平面BCE，又由平面B₁CE⊥平面BCE，故B₁E⊥平面BCE，则∠BEC就是平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角的平面角α．解Rt△CBE可得平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角α的大小
（2）利用等体积示，求三棱锥C-AEB₁的体积，解Rt△B₁CE，求出其面积，设A到平面B₁EC的距离为h，可得答案．

解答：解：（1）∵BC⊥平面BB₁E，
∴平面BB₁E⊥平面BCE，
又平面B₁CE⊥平面BCE，
∴B₁E⊥平面BCE，
∴CE⊥B₁E，BE⊥B₁E
∴∠BEC就是平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角的平面角α．
设∠AEB=β，则∠A₁B₁E=β
∴AE=ABcotβ=cotβ，
A₁E=A₁B₁•tanβ=tanβ
∵AE+EA₁=AA₁=2，
∴cotβ+tanβ=2
解得tanβ=1．即AE=A₁E=1
在Rt△CBE中，BC=1，BE=

2

∴tanα=

1

2

=

2

2

．
∴α=arctan

2

2

（2）在三棱锥C-AEB₁中，S△AEB1=

1

2

×AE•A1B1=

1

2

，CB=1，从而VC-AEB1=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

在Rt△B₁CE中，CE=

BE2+BC2

=

3

，EB1=

2

S△B1EC=

6

2

设A到平面B₁EC的距离为h，则VA-B1EC=

1

3

•

6

2

•h=

6

6

h
∵VA-B1EC=VC-AEB1，
∴

6

6

h=

1

6

∴h=

6

6

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（1）的关键是求出∠BEC就是平面B₁CE与平面B₁BE所成二面角的平面角，（2）中几何法求点面距离时，往往是采用等体积法．