Question

已知函数f（x）=ln（3-x）+x+2
（1）设函数g（x）=f（x）+mx（m∈R），若g（x）在区间（-∞，2]上是增函数，求实数m的取值范围；
（2）设h（x）=f（-x），将函数h（x）的图象向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到ω（x）的图象．
①试确定函数ω（x）的单调区间；
②证明：ln（n!）²＜n（n+1）（其中n∈Z，n≥1，n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象与图象变化

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数，分离参数，m＞

1

3-x

-1，x∈（-∞，2]上恒成立，构造函数F（x）=

1

3-x

-1，再利用导数，求出函数F（x）_max，问题得以解决；
（2）①根据图象的平移得到函数ω（x）的图象，在利用导数求出函数的单调区间即可，
②利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）+mx=ln（3-x）+x+2+mx，
∴函数的定义域为（-∞，3）
∴g′（x）=

-1

3-x

+1+m，
∵g（x）在区间（-∞，2]上是增函数，
∴g′（x）=

-1

3-x

+1+m＞0，在x∈（-∞，2]上恒成立，
即m＞

1

3-x

-1，x∈（-∞，2]上恒成立，
设F（x）=

1

3-x

-1，
则F′（x）=

1

(3-x)2

＞0恒成立，
∴F（x）=

1

3-x

-1，在（-∞，2]上为增函数，
∴F（x）_max=F（2）=0，
∴m＞0，
故实数m的取值范围为（0，+∞），
（2）①∵h（x）=f（-x）=ln（3+x）-x+2，
将h（x）的图象向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到ω（x）的图象．
∴ω（x）=ln（3+x-3）-（x-3）+2-5=lnx-x，
∴函数ω（x）的定义域为（0，+∞），
∴ω′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令ω′（x）=0，解得x=1，
当ω′（x）＞0时，即0＜x＜1，函数ω（x）为增函数，
当ω′（x）＜0时，即x＞1，函数ω（x）为减函数
综上所述，函数ω（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，
②用数学归纳法证明，ln（n!）²＜n（n+1），
1°当n=1时，左边=ln1=0，右边=2，不等式成立，
2°假设当n=k时不等式成立，即ln（k!）²＜k（k+1），
那么当n=k+1时，ln（k!）²=ln（k!）²+ln（k+1）²＜k（k+1）+ln（k+1）^2₌k（k+1）+2ln（k+1）＜k（k+1）+2（k+1）=（k+1）（k+2）
所以当n=k+1时不等式也成立，
由1°2°可知，ln（n!）²＜n（n+1）（其中n∈Z，n≥1，n!=1×2×3×…×n）

点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以及求参数的取值范围，恒成立的问题，以及不等式的证明，培养了学生的转化能力，运算能力，属于难题