Question

设函数f（x）=ax³+bx（a≠0）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为6x+y+4=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）由切线方程求得切点的坐标，求出函数的导数，即有f（1）=-10，f′（1）=-6，解方程即可得到a，b；
（2）求出函数的导数，列表得到f（x）和导数f′（x）的关系，则可得到函数的单调增区间，求出极小值和f（-1）及f（3）的值，比较即可得到最值．

解答： 解：（1）由函数f（x）的图象在点M处的切线方程为6x+y+4=0，
知f（1）=-10，
函数f（x）的导数f'（x）=3ax²+b，
故有

f(1)=a+b=-10 f′(1)=3a+b=-6

，
得：

a=2 b=-12

；
（2）由于f（x）=2x³-12x．　f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

所以函数f（x）的单调增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，
由f（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18，
则f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，考查运算能力，属于中档题．